B9, свойство биссектрисы, неравенство треугольника.

Задание

Теория. Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам. Свойство биссектрисы: биссектриса разбивает сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.

Анализ. В условии не сказано, какой отрезок из полученных оказался равен одной из сторон, очевидно, что нужно это понять, так как не может быть двух верных ответов. При решении проверим, может ли существовать получившийся треугольник, воспользовавшись неравенством треугольника: любая сторона треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Решение. Пусть AB=75, AC=45. Допустим, отрезок DC оказался равным отрезку AC. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Откуда DB=75. Значит сторона BC получилась равна 45+75=120.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC=AC+AB (120=45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
 Допустим, отрезок DC оказался равным отрезку AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Значит сторона BC получилась равна 125+75=200.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC>AC+AB (200>45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
Допустим, отрезок BD оказался равным отрезку AB. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Откуда DC=45. Значит сторона BC получилась равна 45+75=120.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Так как BC=AC+AB (120=45+75), это противоречит неравенству треугольника и значит, такого треугольника не существует.
Допустим, отрезок BD оказался равным отрезку AС. Тогда по свойству биссектрисы треугольника:

Значит сторона BC получилась равна 45+27=72.

Проверим, существует ли такой треугольник.

Так как BC<AC+AB (72<45+75)

AC<AB+BC (45<72+75)

AB<AC+BC (75<45+72), это означает, что неравенство треугольника выполняется, значит такой треугольник существует. То есть, длина третей стороны треугольника равна 72.

Ответ. 72